On the curvature of the Milnor fiber

Let C be a germ at O ∈ R of a real analytic plane curve, CC its complexification, Ct ⊂ Bε a real smooth deformation of C in the ball Bε = B(O, ε). We prove the following inequality between integral of real (resp. gaussian) curvatures k (resp. K) of Ct (resp. CC t ): 2limε,t→0 ∫ Cε t |k| ≤ limε,t→0 ∫ CεC t |K|. We prove the sharpness of this inequality in case C is a real irreducible germ. Similar results are proved for an affine algebraic curve C ⊂ R2 of degree d. Résumé Soit C un germe en O ∈ R2 d’une courbe analytique réelle plane, CC sa complexification, Ct ⊂ Bε une déformation réelle lisse de C dans le disque Bε = B(O, ε). On montre l’inégalité suivante entre la courbure réelle k de Ct et la courbure gaussienne K de CC t : 2limε,t→0 ∫ Cε t |k| ≤ limε,t→0 ∫ CεC t |K|. On prouve que cette inégalité est optimale dans le cas où C est un germe réel irréductible. Des résultats similaires sont prouvés pour une courbe algébrique affine lisse C ⊂ R2 de degré d.